モンテカルロ法

正規化定数の不明な分布P(x)が与えられている。統計量A(x)の分布P(x)のもとでの期待値を求めたい。

定数Zについて

P(x)=\frac{\tilde{P}(x)}{Z}

となる~P(x)が書け、これが容易に計算できるものであるとする。

また、P(x)によく似た分布Q(x)があるとする。

1. Q(x)からサンプルx_αを生成。
   
2. A(x_α)と

   \omega^{(\alpha)}=\frac{\tilde{P}(x^{(\alpha)})}{Q(x^{(\alpha)})}

   を計算する。

期待値は、

\sum_x A(x)P(x)=\frac{\sum_{\alpha}A(x^{(\alpha)})\omega^{(\alpha)}}{\sum_{\alpha} \omega^{(\alpha)}}

具体例

円の面積を求めるモンテカルロ法では、P(x)が単位円の一様密度、Q(x)が外接する一辺2の正方形の中の一様密度、円の面積がZ。半径1の円の中にxがあるなら~P(x)=1、そうでなければ~P(x)=0、Q(x)も同様。

1. 正方形の中の一点x_αをサンプリングする
   
2. ω_α=~P(x)/Q(x)
   
3. 連続変数なので期待値は

わっかんないな～